The Well Ordering Property (자연수 정렬성)

<The Well Ordering Property>

공집합이 아닌 양의 정수의 모든 집합은 최소 원소를 갖는다.
Every Non Empty set of positive integers has a least element

이는 매우 당연해 보이나 많은 결과들을 증명하는데 큰 역할을 한다.

EXAMPLE 1) 가 무리수임을 증명하여라

이를 보이기 전에 하나 정의를 보고 가자.

<DEFINITION> Rational & Irrational
만약 r = p/q 를 만족하는 정수 p 와 q(!=0) 이 존재할 때 r을 Rational이라고 한다.
r이 Rational이 아니면 Irrational이라고 부른다.

그럼 다시 예제로 돌아가,

를 Rational 이라고 가정해보자. 그러면 = b/a를 만족하는 양의정수 b와 a가 존재한다.

이와 같이 The Well Ordering Property를 통하여 루트 2가 무리수 임을 귀류적으로 증명할 수 있다.